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Die '''binomischen Formeln''' sind ein wichtiger Bestandteil beim Ausmultiplizieren von Termen.
== Überblick ==
1. binomische Formel: <math>(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2</math>
2. binomische Formel: <math>(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2</math>
3. binomische Formel: <math>a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)</math>
== Herleitung ==
Die Hintergründe der binomischen Formeln sind einfach zu erklären: sie kürzen die sonst nötigen Rechenschritte ab!
Konkret sieht man hierbei, was passiert, wenn man ein Binom mit den Variablen a und b multipliziert.
<math>\begin{aligned}(a + b)(a + b) &= (a + b)^2 \\ (a - b)(a - b) &= (a - b)^2\\(a+b)(a-b)\end{aligned}</math>
Es ergeben sich nun drei Fälle: a und b werden in den zu multiplizierenden Klammern entweder
# addiert
# substrahiert oder
# einmal addiert und einmal subtrahiert
Folgt man nun der nach dem Distributivgesetz üblichen Regel "jedes mit jedem multiplizeren", ergibt sich für:
die erste binomische Formel:
<math>
\begin{aligned}
(a + b)^2 &= (a+b) \cdot (a+b) \\
&= a \cdot a \underbrace{+ a \cdot b + b \cdot a}_{\substack{+ 2 \cdot a \cdot b}} + b \cdot b \\
&= a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2
\end{aligned}
</math>
die zweite binomische Formel:
<math>
\begin{aligned}
(a - b)^2 &= (a-b) \cdot (a-b) \\
&= a \cdot a \underbrace{- a \cdot b - b \cdot a}_{\substack{- 2 \cdot a \cdot b}} + b \cdot b \\
&= a^2 - 2 \cdot a \cdot b + b^2
\end{aligned}
</math>
die dritte binomische Formel:
<math>
\begin{aligned}
(a-b) \cdot (a+b) &= a \cdot a \underbrace{- a \cdot b + b \cdot a}_{\substack{0}} + b \cdot b \\
&= a^2 - b^2
\end{aligned}
</math>
== Weiterführende Informationen ==
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Binomische_Formeln Wikipedia-Artikel zu diesem Thema]
[[Kategorie:Mathematik]]
== Überblick ==
1. binomische Formel: <math>(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2</math>
2. binomische Formel: <math>(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2</math>
3. binomische Formel: <math>a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)</math>
== Herleitung ==
Die Hintergründe der binomischen Formeln sind einfach zu erklären: sie kürzen die sonst nötigen Rechenschritte ab!
Konkret sieht man hierbei, was passiert, wenn man ein Binom mit den Variablen a und b multipliziert.
<math>\begin{aligned}(a + b)(a + b) &= (a + b)^2 \\ (a - b)(a - b) &= (a - b)^2\\(a+b)(a-b)\end{aligned}</math>
Es ergeben sich nun drei Fälle: a und b werden in den zu multiplizierenden Klammern entweder
# addiert
# substrahiert oder
# einmal addiert und einmal subtrahiert
Folgt man nun der nach dem Distributivgesetz üblichen Regel "jedes mit jedem multiplizeren", ergibt sich für:
die erste binomische Formel:
<math>
\begin{aligned}
(a + b)^2 &= (a+b) \cdot (a+b) \\
&= a \cdot a \underbrace{+ a \cdot b + b \cdot a}_{\substack{+ 2 \cdot a \cdot b}} + b \cdot b \\
&= a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2
\end{aligned}
</math>
die zweite binomische Formel:
<math>
\begin{aligned}
(a - b)^2 &= (a-b) \cdot (a-b) \\
&= a \cdot a \underbrace{- a \cdot b - b \cdot a}_{\substack{- 2 \cdot a \cdot b}} + b \cdot b \\
&= a^2 - 2 \cdot a \cdot b + b^2
\end{aligned}
</math>
die dritte binomische Formel:
<math>
\begin{aligned}
(a-b) \cdot (a+b) &= a \cdot a \underbrace{- a \cdot b + b \cdot a}_{\substack{0}} + b \cdot b \\
&= a^2 - b^2
\end{aligned}
</math>
== Weiterführende Informationen ==
* [https://de.wikipedia.org/wiki/Binomische_Formeln Wikipedia-Artikel zu diesem Thema]
[[Kategorie:Mathematik]]