Volumenberechnung
Geometrie
In der „normalen“ Geometrie ist unsere Grundannahme, dass ein Körper durch Seitenlängen, Höhen, o.ä. definiert wird.
Körper | Formel | Erläuterung |
---|---|---|
Quader | [math]V_{Quader} = a \cdot b \cdot c[/math] | [math]a, b, c[/math] sind die Seitenlängen, also ist das Volumen "Länge x Breite x Höhe" |
Prisma | [math]V_{Prisma} = G \cdot h[/math] | Die Fläche [math]G[/math] der Grundseite wird mit der Höhe [math]h[/math] multipliziert |
Zylinder | [math]V_{Zyl} = G \cdot h = \underbrace{r^2 \cdot \pi}_{\substack{G}} \cdot h[/math] | ein Prisma mit einem Kreis als Grundseite |
Kugel | [math]V_{Kugel} = \frac{4}{3} \cdot r^3 \cdot \pi[/math] | [math]r[/math] als der Kugelradius |
Pyramide | [math]V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h[/math] | Die Fläche [math]G[/math] der Grundseite wird mit der Höhe [math]h[/math] multipliziert und das Gesamtergebnis gedrittelt |
Kegel | [math]V_{Zyl} = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \underbrace{r^2 \cdot \pi}_{\substack{G}} \cdot h[/math] | ähnlich zum Zylinder |
Analytische Geometrie
In der analytischen Geometrie gehen wir davon aus, dass der Körper durch Vektoren definiert wird. Es gelten hier folgende Zusammenhänge:
Körper | Formel |
---|---|
Spat | [math]V_{Spat}=\left|\overset{\rightarrow}{{AB}}\circ\left(\overset{\rightarrow}{{AC}}\times\overset{\rightarrow}{{AD}}\right)\right|[/math] |
Prisma | [math]V_{Prisma}=\frac{1}{\textbf{2}}\left|\overset{\rightarrow}{{AB}}\circ\left(\overset{\rightarrow}{{AC}}\times\overset{\rightarrow}{{AD}}\right)\right|[/math] |
Pyramide (Parallelogram als Grundfläche) |
[math]V_{Pyram}=\frac{1}{\textbf{3}}\left|\overset{\rightarrow}{{AB}}\circ\left(\overset{\rightarrow}{{AC}}\times\overset{\rightarrow}{{AD}}\right)\right|[/math] |
Tetraeder / Pyramide (Dreieck als Grundfläche) |
[math]V_{Tetraeder}=\frac{1}{\textbf{6}}\left|\overset{\rightarrow}{{AB}}\circ\left(\overset{\rightarrow}{{AC}}\times\overset{\rightarrow}{{AD}}\right)\right|[/math] |
Einzelnachweise
- Volumenformeln - serlo.org. Abgerufen am 2018-01-19. Lizenz: Creative Commons BY-SA 4.0 (de)
- Flächeninhalte und Volumen im kartesischen Koordinatensystem - serlo.org. Abgerufen am 2018-01-19. Lizenz: Creative Commons BY-SA 4.0 (de)