Binomische Formeln

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Die binomischen Formeln sind ein wichtiger Bestandteil beim Ausmultiplizieren von Termen.

Überblick

1. binomische Formel: [math](a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2[/math]

2. binomische Formel: [math](a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2[/math]

3. binomische Formel: [math]a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)[/math]

Herleitung

Die Hintergründe der binomischen Formeln sind einfach zu erklären: sie kürzen die sonst nötigen Rechenschritte ab!

Konkret sieht man hierbei, was passiert, wenn man ein Binom mit den Variablen a und b multipliziert.

[math]\begin{aligned}(a + b)(a + b) &= (a + b)^2 \\ (a - b)(a - b) &= (a - b)^2\\(a+b)(a-b)\end{aligned}[/math]

Es ergeben sich nun drei Fälle: a und b werden in den zu multiplizierenden Klammern entweder

  1. addiert
  2. substrahiert oder
  3. einmal addiert und einmal subtrahiert

Folgt man nun der nach dem Distributivgesetz üblichen Regel "jedes mit jedem multiplizeren", ergibt sich für:

die erste binomische Formel:

[math] \begin{aligned} (a + b)^2 &= (a+b) \cdot (a+b) \\ &= a \cdot a \underbrace{+ a \cdot b + b \cdot a}_{\substack{+ 2 \cdot a \cdot b}} + b \cdot b \\ &= a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2 \end{aligned} [/math]

die zweite binomische Formel:

[math] \begin{aligned} (a - b)^2 &= (a-b) \cdot (a-b) \\ &= a \cdot a \underbrace{- a \cdot b - b \cdot a}_{\substack{- 2 \cdot a \cdot b}} + b \cdot b \\ &= a^2 - 2 \cdot a \cdot b + b^2 \end{aligned} [/math]

die dritte binomische Formel:

[math] \begin{aligned} (a-b) \cdot (a+b) &= a \cdot a \underbrace{- a \cdot b + b \cdot a}_{\substack{0}} + b \cdot b \\ &= a^2 - b^2 \end{aligned} [/math]

Weiterführende Informationen