Nullstelle

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Verschiedene Nullstellen, hierbei ist die blaue Funktion eine lineare Funktion und die rote eine quadratische Funktion

Eine Nullstelle (engl. zero oder manchmal auch root) einer Funktion ist ein Argument, für die die Funktion den Funktionswert null hat, bei der also die Gleichung [math]f(x) = 0[/math] (hierbei ist [math]x[/math] das Argument) wahr ist.

Lineare Funktionen

Nullstellen bei den linearen Funktionen zu ermitteln ist besonders einfach, da diese immer nur eine Nullstelle haben.

Um diese zu ermitteln, wird die Grundanforderung an die Nullstelle [math]f(x) = 0[/math] gestellt und dann nach [math]x[/math] aufgelöst.

Beispiel

Gegeben sei eine Funktion [math]f(x) = 2x + 2[/math]. Die Nullstelle wird nun ermittelt, indem [math]f(x) = 0[/math] als Grundanforderung notiert wird, dann [math]f(x)[/math] durch den Funktionsterm ersetzt wird und schließlich x zu isolieren und dann aufzulösen:

[math] \begin{aligned} f(x) &= 0 \\ 2x + 2 &= 0 &|& -2 \\ 2x &= -2 &|& :2 \\ x &= -1 \end{aligned} [/math]

Hier ist also [math]x_0 = -1[/math] die Nullstelle.

Allgemein

Da das Verfahren immer gleich ist, können wir auch schauen, was passiert, wenn wir statt konkreten Werten Variablen einsetzen. Als Funktion nehmen wir also die Grundform einer linearen Funktion: [math]f(x) = mx + n[/math] (ob sie jetzt [math]mx + n[/math], [math]mx + b[/math] oder [math]ax + b[/math] heißt ist hier unerheblich)

[math] \begin{aligned} f(x) &= 0 \\ mx + n &= 0 &|& -n \\ mx &= -n &|& :m \\ \mathbf{x} &= \mathbf{-\frac{n}{m}} \end{aligned} [/math]

Es ergibt sich also als Formel [math]x_0 = -\frac{n}{m}[/math] für Nullstellen bei linearen Funktionen. Das obige Beispiel kann hiermit mitunter viel schneller erreichner werden, als im langen (aber schönen) Weg: [math]x_0 = -\frac{n}{m} = -\frac{2}{2} = -1[/math]