Volumenberechnung

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Im dreidimensionalen Raum lassen sich verschiedene Formeln zur Berechnung des Volumens anwenden

Dieser Artikel gibt einen Überblick über die verschiedenen Varianten zur Berechnung von Volumnina.

Geometrie

In der „normalen“ Geometrie ist unsere Grundannahme, dass ein Körper durch Seitenlängen, Höhen, o.ä. definiert wird.

Körper Formel Erläuterung
Quader [math]V_{Quader} = a \cdot b \cdot c[/math] [math]a, b, c[/math] sind die Seitenlängen, also ist das Volumen "Länge x Breite x Höhe"
Prisma [math]V_{Prisma} = G \cdot h[/math] Die Fläche [math]G[/math] der Grundseite wird mit der Höhe [math]h[/math] multipliziert
Zylinder [math]V_{Zyl} = G \cdot h = \underbrace{r^2 \cdot \pi}_{\substack{G}} \cdot h[/math] ein Prisma mit einem Kreis als Grundseite
Kugel [math]V_{Kugel} = \frac{4}{3} \cdot r^3 \cdot \pi[/math] [math]r[/math] als der Kugelradius
Pyramide [math]V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h[/math] Die Fläche [math]G[/math] der Grundseite wird mit der Höhe [math]h[/math] multipliziert und das Gesamtergebnis gedrittelt
Kegel [math]V_{Zyl} = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \underbrace{r^2 \cdot \pi}_{\substack{G}} \cdot h[/math] ähnlich zum Zylinder

Analytische Geometrie

In der analytischen Geometrie gehen wir davon aus, dass der Körper durch Vektoren definiert wird. Es gelten hier folgende Zusammenhänge:

Körper Formel
Spat [math]V_{Spat}=\left|\overset{\rightarrow}{{AB}}\circ\left(\overset{\rightarrow}{{AC}}\times\overset{\rightarrow}{{AD}}\right)\right|[/math]
Prisma [math]V_{Prisma}=\frac{1}{\textbf{2}}\left|\overset{\rightarrow}{{AB}}\circ\left(\overset{\rightarrow}{{AC}}\times\overset{\rightarrow}{{AD}}\right)\right|[/math]
Pyramide
(Parallelogram als Grundfläche)
[math]V_{Pyram}=\frac{1}{\textbf{3}}\left|\overset{\rightarrow}{{AB}}\circ\left(\overset{\rightarrow}{{AC}}\times\overset{\rightarrow}{{AD}}\right)\right|[/math]
Tetraeder / Pyramide
(Dreieck als Grundfläche)
[math]V_{Tetraeder}=\frac{1}{\textbf{6}}\left|\overset{\rightarrow}{{AB}}\circ\left(\overset{\rightarrow}{{AC}}\times\overset{\rightarrow}{{AD}}\right)\right|[/math]

Einzelnachweise